3B1B: Essence of Linear Algebra ch.11 Cross Products in the Light of Linear Transformations

지난 10장 비디오에서 본 Cross Products의 계산을 수식으로 표현하면 아래와 같다.(친숙하지 않았던 방식)

\[\begin{bmatrix} v_1\\ v_2\\ v_3 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} w_1\\ w_2\\ w_3\\ \end{bmatrix} = det( \begin{bmatrix} \hat{i} & v_1 & w_1 \\ \hat{j} & v_2 & w_2 \\ \hat{k} & v_3 & w_3 \\ \end{bmatrix} ) = \hat{i}(v_2w_3 - v_3w_2) + \hat{j}(v_3w_1 - v_1w_3) + \hat{k}(v_1w_2 - v_2w_1)\]

determinant를 계산하는 때, 일반적으로 학생들에게 저 벡터 계산식이 기하학적 특성을 따른다니 그저 믿으라고 해왔다.

즉, $\mathrm{v} \times \mathrm{w} = \mathrm{p}$이고 $\mathrm{p}$의 길이(length)가 $\mathrm{v}$와 $\mathrm{w}$로 정의되는 평행사변형의 넓이와 같다는 것이다. 그리고 벡터 $\mathrm{p}$의 끝인 점은 $\mathrm{v}$와 $\mathrm{w}$ 모두와 perpendicular이다. 이는 오른손 법칙을 따른다.

이 공식은 여러가지 다른 정리(사실)를 수식적으로 증명해볼 수 있다.

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하지만, 위와 같은 증명은 꽤나 고통스러운 작업이 된다.

이번 장에서는 위의 증명을 꽤나 우아한(elegant) 추론(reasoning)으로 소개하려고 한다.

배경지식이 약간 필요한데, 이전에 배웠던 5장의 determinants7장의 Dot products and Duality를 봤다는 가정하에 이번 장을 이어가도록 하겠다.

Duality Review

Duality의 개념은 중요하니 결론만 짧게 복습하자.

어떤 space를 number line으로 linear transformation하면, 이 transformation은 space의 unique한 벡터와 연관되어 있다. linear transformation을 수행하는 것이 그 특정 벡터의 dot product를 구한 결과와 같다는 뜻이다.

수식적으로 이것은 하나의 transformation이 오직 하나의 row를 가진 matrix로 설명되며, 이 matrix의 각 column은 basis vectors가 변환되어 나타난 number를 알려준는 뜻이다.

그리고 이 matrix에 임의의 vector인 $\mathrm{v}$를 곱하면, 계산적으로 $\mathrm{v}$와 transformation행렬을 옆으로 돌려서 얻은 벡터의 dot product를 구하는 것과 동일하다.

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여기서 기억해야할 점은, 이번 시리즈 밖의 넓은 수학의 세계로 나갔을 때 number line에 대한 linear transformation을 발견할 때마다 그 transformation을 Dual vector라고 불리는 어떤 다른 벡터와 일치시킬 수 있다는 사실이다.

Cross products

The plan

cross products는 위의 dual vector의 예시 중 하나이다. 이를 이해하려면 약간의 노력이 필요하지만 그 노력의 가치는 확실히 있다.

앞으로 할 일은

  1. Define a 3d-to1d linear transformation in terms of $\mathrm{v}$ and $\mathrm{w}$
  2. Find its Dual vector
  3. Show that this dual is $\mathrm{v} \times \mathrm{w}$

이다.

이러한 과정을 거쳐야 cross product의 기하학적 의미와 계산 사이의 관계를 명확하게 할 수 있다.

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흔히 하는 오해

아래의 그림은 10장에서 봤던 2차원 평면에서의 cross product를 구하는 방법이다.

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3차원 공간에서의 cross product 계산을 이해할 때, 2차원에서와 똑같은 방법으로 하는 실수를 범할 수 있다.

3개의 벡터를 3x3 행렬로 만들고, 이 행렬의 determinant를 구한다.

그리고 6장에서 배운 것 처럼 기하학적으로 이 determinant값은 세 벡터로 이루어진 Parallelepiped의 부피가 된다.

이 세 벡터의 오른손 법칙의 방향에 따라 양수 혹은 음수의 부호가 결정된다.

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물론, 위 방식의 결과는 cross product가 아니다.

알다싶이, 3차원 공간의 cross product는 두 벡터를 취해 하나의 새로운 벡터를 생성하는 방식이다.

$\mathrm{v} \times \mathrm{w} = \mathrm{p}$

흔히 하는 오해 처럼 세 개의 벡터를 취해 하나의 숫자를 생성하는 것이 아니다.

하지만, 이러한 오해는 사실 진짜 cross product가 무엇인지 더 잘 이해하는 데 도움을 준다.

Real cross product

위의 오해에서 살펴보았던 determinant를 구한 행렬의 첫 번째 column을 variable이라고 해보자. 이 variable은 $x$,$y$,$z$이고 나머지 두 벡터 $\mathrm{v}$와 $\mathrm{w}$는 고정되어 있다.

그러면 이제 이 determinant는 3차원에서 1차원 number line으로 가는 함수가 된다.

기하학적으로 이 함수의 의미는 모든 input vector \(\begin{bmatrix} x \\ y\\ z\\ \end{bmatrix}\) 에 대하여 나머지 두 벡터 $\mathrm{v}$와 $\mathrm{w}$에 의해 정의된 perpendicular이다. 그런 다음, 방향에 따라 양수나 음수를 취해 부피를 구할 수 있다.

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왜 이런식으로 variable를 잡아 function을 정의할까? 낯설게 느껴질 수도 있겠지만, 이 방식을 믿고 가지고 간다면, 이를 통해 많은 것들을 할 수 있다. 이 방식이 cross product를 이해하는 비결이다.

이 함수의 중요한 특성 중 하나는 linear라는 점이다. determinant의 특성을 통해 이건 사실이다.(증명은 여러분께 맡긴다.)

linear라는 특성이 중요한 이유는 linear야지 duality라는 개념을 떠올릴 수 있다. 이 함수가 lienar여야지 이 함수를 matrix multiplication으로 설명할 수 있다. 즉, 3차원에서 1차원으로 가는 함수이기 때문에, 이 transformation을 encoding하는 1 x 3 matrix 꼴로 나타낼 수 있을 것이다.

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그리고 Daulity의 whole idea가 다차원에서 1차원으로의 transformation에 대해 특별한 점은 row형태의 matrix를 세로로 돌릴 수 있어서 어떤 벡터의 dot product로써 전체 transformation을 해석할 수 있다는 점이다. 이제부터 우리가 찾아야하는 건 이 특별한 3차원 벡터다. 이걸 $\mathrm{p}$라고 하자. 그러면, $\mathrm{p}$와 variable였던 \(\begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ \end{bmatrix}\) 사이에 dot product를 계산하면, \(\begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ \end{bmatrix}\) 를 3 x 3 matrix의 첫 번째 column에 놓고 다른 두 벡터 $\mathrm{v}$와 $\mathrm{w}$의 좌표를 나머지 두 column에 놓은 후, 이 행렬의 determinant를 계산하는 것과 같은 결과를 얻는다.

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  • Computationally

이것이 계산적으로 무엇을 의미하는지 좀더 살펴보자.

\[\begin{bmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{bmatrix} = det( \begin{bmatrix} x & v_1 & w_1 \\ y & v_2 & w_2 \\ z & v_3 & w_3 \\ \end{bmatrix} )\]

에서 좌항(left hand side)은 $p_1 \cdot x + p_2 \cdot y + p_3 \cdot z$이다. 우항(right hand)는 $c_1x + c_2y + c_3z$이다. 여기서 $c1 = v_2 \cdot w_3 - v_3 \cdot w_2$, $c2 = v_3 \cdot w_1 - v_1 \cdot w_3$, $c3 = v_1 \cdot w_2 - v_2 \cdot w_1$이다. 즉 $\mathrm{v}$와 $\mathrm{w}$의 성분들에 대한 certain combinations이다.

이때, 이 combination이 $\mathrm{p}$의 좌표가 된다.

  • $p1 = v_2 \cdot w_3 - v_3 \cdot w_2$

  • $p2 = v_3 \cdot w_1 - v_1 \cdot w_3$
  • $p3 = v_1 \cdot w_2 - v_2 \cdot w_1$

가 된다.

이 결과는 우리가 이미 살펴봤던 basis vectors를 활용한 cross product의 계산과 다르지 않다.

basis vector인 $\hat{i}$,$\hat{j}$,$\hat{k}$를 사용하는 건 이 coefficients를 벡터의 좌표로 해석하고자함이다.

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따라서 결국엔 위의 재밌는 계산을 가지고 아래의 질문에 답할 수 있다.

What vector $\mathrm{p}$ has the property that when you take a dot product between $\mathrm{p}$ and some vector \(\begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ \end{bmatrix}\) , it gives the smae result as plugging in \(\begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ \end{bmatrix}\) to the first column of the matrix whose other tow columns have the coordinates of $\mathrm{v}$and $\mathrm{w}$ then coputing the determinant?

이 질문은 좀 어려울 수 있다. 하지만, 이번 장의 내용을 완전히 이해하는 데 필요한 중요한 질문이다.

  • Geometrically

지금까지 computationally로 살펴보았다면, 이제 같은 개념을 기하학적인 질문으로 바꿔 생각해보자.

What 3D vector $\mathrm{p}$ has the special property that when you take a dot product between $\mathrm{p}$ and some other vector \(\begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ \end{bmatrix}\) , it gives the same result as if you took the signed volume of a parallelepiped defined by this vector \(\begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ \end{bmatrix}\) along with $\mathrm{v}$ and $\mathrm{w}$?

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여기서, dot product의 기하학적 해석이 등장한다.

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그러면 이를 3차원 공간의 부피에서도 똑같이 생각해볼 수 있다.

$\mathrm{v}$와 $\mathrm{w}$로 정의된 parallelogram의 넓이를 구하자. 그리고 이 넓이를 \(\begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ \end{bmatrix}\) 의 길이와 곱하지 말고, \(\begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ \end{bmatrix}\) 의 $\mathrm{v}$와 $\mathrm{w}$의 직각인 \(\begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ \end{bmatrix}\) 의 원소와 곱하자. 다시 말해, 주어진 vector에 대해 이 linear function은 그 vector를 $\mathrm{v}$와 $\mathrm{w}$의 직각인 선(line) 위로 projection하는 것이다. 그 다음에, 그 projection의 길이를 parallelogram과 곱한다.

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이게 사실 dot product인 것이다.

아래 그림에서 하얀색 화살표($[x y z]^T$)와 빨간색 화살표($\mathrm{v}$와 $\mathrm{w}$의 직각인 벡터) 사이의 dot product이다.

게다가, 빨간색 화살표에 대하여 적당한 방향을 정하면, dot product가 음수(-)인 경우는 $[x y z]^T$, $\mathrm{v}$,그리고 $\mathrm{w}$ 방향에 오른손 법칙이 적용된 경우와 일치한다.

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따라서, 이렇게 구한 값이 결국 $\mathrm{p}$이다. $\mathrm{p}$와 어떤 벡터 $[x y z]^T$의 내적을 구하는 것은 $[x y z]^T$와 $\mathrm{v}$, $\mathrm{w}$의 좌표를 row로 갖는 3 x 3의 행렬식을 구하는 것과 같다.

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