3B1B: Essence of Linear Algebra ch.10 Cross products

이번 장에서는 학생들이 친숙할만한 내용의 Cross products에 대해 설명하고, 다음 11장에서 LInear transformations를 가지고 깊게 이해해보도록 하자.

기본적으로 Cross products벡터 $\mathrm{v}$와 벡터 $\mathrm{w}$가 만들어내는 평행사변형의 넓이이다.

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이때, $\mathrm{v}$와 $\mathrm{w}$의 위치에 따라 cross products의 부호가 바뀐다.

  • $\mathrm{v}$ 오른쪽 / $\mathrm{w}$ 왼쪽 : 양수(+)
  • $\mathrm{v}$ 왼쪽 / $\mathrm{w}$ 오른쪽 : 음수(-)

이를 식으로 나타내면 $\mathrm{v} \times \mathrm{w} = -\mathrm{w} \times \mathrm{v}$이다.

이를 기억하는 방법 중 하나는 아래의 그림처럼, 이전에 배운 basis vectors인 $\hat{i}$와 $\hat{j}$를 떠올리면 된다. $\hat{i}$가 $\hat{j}$오른쪽에 있으니, $\hat{i} \times \hat{j} = +1$이다.

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계산방법

5장에서 배운 determinant를 활용하여 cross products를 계산할 수 있다. basis vectors $\hat{i}$와 $\hat{j}$를 linear transformations한 게 $\mathrm{v}$와 $\mathrm{w}$이다. 그래서 이 $\mathrm{v}$와 $\mathrm{w}$로 이루어진 행렬 $A$의 determinant를 구하면 그 값이 $\mathrm{v} \times \mathrm{w}$이다.

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또한, $\mathrm{v}$와 $\mathrm{w}$의 perpendicular여부로 그 값을 알 수 있다.

두 벡터가 직각일 수록 cross products의 값은 최대가 되고, 두 벡터가 같은 방향을 바라볼 수록 그 값은 최소가 된다.

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그밖에 한 쪽 벡터에 scale up을 하면, 예를 들어 $\mathrm{v}$에 3을 곱하면, 두 벡터가 이루는 평행사변형의 넓이 또한 3배가 된다.

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vector products

지금까지 설명한 cross product에 관한 내용은 수학적 계산상으로는 완벽히 맞지만, technically하게는 cross products는 아니다. 원래 cross product는 3차원인 두 벡터를 결합해서 새로운 3차원 벡터를 만드는 개념이다. 그래서 vector products라고도 불린다.

계속해서 평행사변형을 사용해서 설명하는 게 좋다. 왜냐하면 이 평행사변형의 넓이는 여전히 중요하기 때문이다. 예를 들어, 두 벡터로 이루어진 평행사변형의 넓이가 2.5라고 해보자. cross products를 계산한 결과는 엄밀히 말해 숫자가 아니라 벡터다. 이 새 벡터의 길이(length)가 바로 평행사변형의 넓이였던 2.5이다. 그리고 이 새로운 벡터는 평행사변형에 대하여 perpendicular(직각)을 이룬다.

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하지만 ‘위’와 ‘아래’ 중에서 어느 방향일까? 오른손의 법칙이 다시 등장하는데, 아래 그림에서 새로운 벡터의 방향은 ‘빨간색’이다. ‘파란색’은 아니다.

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이를 일반화시키면 아래의 그림과 같다. 이 식을 암기해도 좋지만, 더 외우기 쉬운 방법이 있다. 쉬운 방법은 처음엔 이상하게 보일지도 모른다.

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쉬운 방법은 먼저, 3차원 행령를 만들고 두 번째 열과 세번째 열에 $\mathrm{v}$와 $\mathrm{w}$를 차례로 채운다. 그리고 첫번째 열은 basis vectors인 $\hat{i}$, $\hat{j}$, 그리고 $\hat{k}$로 채운다. 이렇게 basis vectors를 첫 번째 열에 채우는 게 이상하게 보일 수 있다. (참고로, 몇몇 교과서에서는 열(columns)이 아닌 행(rows)를 기준으로 벡터들의 좌표를 놓기도 한다. 이는 결과적으로 차이가 없다. 왜냐하면 determinant값은 transpose후에도 바뀌지 않기 때문이다.)

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도대체 행렬의 요소 값으로 basis vectors를 넣는다는 건 무슨 의미 일까? 이걸 흔히 notation trick이라 부른다. basis vectors를 하나의 number처럼 계산하면, basis vectors의 linear comination을 얻게 된다.

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그리고 이 Linear combination으로 표현된 벡터는 $\mathrm{v}$와 $\mathrm{w}$에 수직인 유일한 벡터가 된다. 다시 말해, (1) 해당 평행사변형 넓이와 같으면서, (2) 방향은 오른손 법칙을 따르는 유일한 벡터다.

이러한 계산방법은 말했듯이 notation trick일 뿐이지만 나름의 이유가 있다. 이 determinant과 관련해 이를 이해하려면 duality 개념을 다시 꺼내야한다. 이 개념은 조금 어려워서 11장 동영상에서 별도로 설명하겠다. 대수학적으로는 이 개념은 선형대수학의 본질에서 벗어나긴 하지만, 기하학적으로는 중요한 파트다.

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