3B1B: Essence of Linear Algebra ch.8 Nonsquare Matrices as Transformations Between Dimensions

지금까지 Linear transforamtion에 대해 얘기했을때, 2 x 2 행렬로 표현되는 2차원 벡터에서 다른 2차원 벡터로의 변환만을 다뤘었다. 혹은 3 x 3 행렬로 표현되는 3차원에서 다른 3차원으로의 변환을 다뤘다.

그런데, non-square matrices에 대해서는 어떻게 하냐고 질문이 들어왔다. 그래서 기하학적으로 그게 무슨 의미인지 간단히 보여주려고 한다.

3 x 2 matrix

2차원 공간에서의 input을 받은 transformation가 3차원 공간의 ouput을 내놓는다고 해보자.

아래의 그림과 같이 2차원 input 벡터는 3차원 output 벡터와 완전히 다른 생명체(?)다. 둘은 완전히 구별되고 unconnected한 공간에 서로 산다.

ch8-1

이러한 transformations를 행렬로 encoding하는 건 우리가 전에 해왔던 방식과 같다. 각각의 basis vector가 도달하는 위치의 coordinates를 행렬의 columns 형태로 표현하면 된다.

ch8-2

위에 예시를 든 transformation은 3 x 2 matrix이다. 7장에서 사용했던 용어를 그대로 써보면, 이 행렬의 column space는 3차원 공간의 원점(origin)을 가로지르는 2차원 평면상의 모든 벡터(span of columns)가 된다.

하지만, 행렬은 여전히 full rank다. 이 column space의 차원 수가 input space의 차원수와 같기 때문이다.

결국 3 x 2 행렬을 거칠게 표현하자면, 기하학적으로는 2차원 평면을 3차원 공간으로 mapping하는 걸로 볼 수 있다.

2 x 3 matrix

그러면 2 x 3 행렬은 2행 3열로 이루어진 행렬인데, 이 행렬은 어떤 변환을 의미할까?

3개의 열은 3개의 basis vectors를 가진 공간에서 시작했다는 뜻으로, 3차원에서 시작했다는 말이다. 그리고 2개의 행이 의미하는 것은 3개의 basis vectors의 transformation 후를 의미하며 단지 좌표값 2개만을 가지고 있다.

ch8-3

그래서, 3차원 공간에서 2차원 평면으로 transformation된 것이다. (일종의 projection이다)

ch8-4

2 x 1 matrix

2차원에서 1차원 number line으로의 transformation도 생각해볼 수 있다.

ch8-5

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