3B1B: Essence of Linear Algebra ch.6 The Determinant

Determinant

2D transformation

Linear transformation은 공간이 확장(streched) 혹은 축소(squished)된다는 사실은 이제 알 것이다. 그렇다면 그 공간에 놓인 물체(벡터) 또한 확장 혹은 축소 될텐데, 그 정도를 알 수 있는 방법이 있을까? 그걸 알 수 있는 척도가 바로 Determinant(행렬식)이다. 다시 말해, 특정 지역(area)의 크기를 증가하거나 감소시키는 factor(요인)값을 측정해보는 것이다.

$det(A) > 0$

예를 들면, 아래의 그림과 같이 2차원 공간의 단위 벡터에서 넓이, 즉 조금 전에 말한 특정 지역의 크기,가 1인 물체가 있다고 해보자.

ch6-1

이 물체를 linear transformation하면 아래의 그림과 같이 넓이가 6으로 바뀐다.

ch6-2

하나의 단위 정사각형의 영역이 얼마나 변하는지만 알면 공간 상 어떤 지역이 어떻게 변할지를 알 수 있게 된다. 이것은 격자선이 평행하고 균등한 거리를 유지한 채 변하기 때문이다.

이렇게 특별한 scaling factor는 linear transformation에 의한 area의 변화를 나타내는 factor이며 이게 바로 determinant이다.

ch6-3

예를 들어, determinant값이 3이면 단위 정사각형의 넓이는 1에서 3으로 변환된다. 이는 확장(stretching)이다. 반면, determinant값이 $1/2$이면 단위 정사각형의 넓이는 1에서 $1/2$로 축소(squishing)한다.

$det(A) = 0$

중요한 점은 determinant의 값이 0일 때이다. 이 값이 0이면 2차원 공간은 찌그러져서 1차원 직선이 되거나 0차원의 한 점이 된다. 이때는 어느 영역의 크기든 0이 된다.

ch6-4

$det(A) < 0$

또 하나 알아 둘 점은 determinant의 값이 음수(-)일 때다. 사실 이건 양수(+)일 때와 크게 다르지는 않지만 중요한 차이점이 하나 있다. 바로 orientation(방향)이다. 행렬식이 음수일 경우에는 공간을 뒤집는다(flipping)고 상상하면 된다. 이런 식의 transformations를 invert the orientation of space라 부른다.

단위벡터를 기준으로 생각해보면 $i\hat{i}$는 $\hat{j}$의 오른쪽에 있었다. 하지만, orientation이 reversed된 후엔, $\hat{j}$가 $\hat{i}$의 오른쪽에 위치하게 된다.

ch6-5

determinant의 절대값은 0이 아닌 건 마찬가지기 때문에, determinant는 여전히 어떤 area가 scaled됐다고 할 수 있는 factor이다.

아래의 그림은 determinant의 값이 양수(+)에서 0을 지나 음수(-)로 바뀌면, 기하학적으로 어떻게 orientation이 변하는 지 직관적으로 보여준다.

ch6_gif

3D transformations

$det(A) > 0$

3차원에서 단위 벡터로 이루어진 정육면체를 떠올리면 된다. linear transformation에 따라 이 부피(volume)가 바뀔 것이다.

ch6-6

정육면체가 기울어지고 기울어진 큐브가 된다.(2번의 linear formations의 경우) 이 모양은 Parallelpiped라고 불린다. 이 parallelpiped 역시 부피가 1이다. 정육면체에서 parallelpiped로 변형시키는 데 쓰인 행렬의 determinant는 곧 parallelpiped의 부피가 된다.

ch6-7

$det(A) = 0$

3차원 공간에서의 행렬에서의 determinant가 0인 경우에는 2차원 평면, 1차원 직선, 아니면 0차원 점으로 축소된다. 이때 그 행렬의 각각의 열벡터는 linearly dependent이다.

ch6-8

$det(A) < 0$

2차원에서와 마찬가지로 3차원 공간에서 determinant가 음수(-)일때 그 orientation이 바뀐다. 어떻게 바뀌는지 헷갈릴 수도 있는데 오른손 법칙을 떠올리면 이해하기 쉽다.

검지는 $\hat{i}$, 중지는 $\hat{j}$, 엄지는 $\hat{k}$라고 생각하자.

ch-9

orientation이 flipped되면 basis vectors는 더 이상 오른손 법칙을 따르지 않고 왼속으로 바꿔야 한다.

determinant값 구하기

교과서에서 determinant의 정확한 값을 구하는 식을 다루긴 하지만, 선형대수학의 본질은 아니니까 여기서는 과감히 생략한다.

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