3B1B: Essence of Linear Algebra ch.5 Three-dimensional Linear Transformations

지난 4장에서는 2차원의 벡터만 다뤘다면, 이번에는 그 확장판으로 3차원 벡터의 Linear transformations를 간략히 다뤄볼 예정이다. 대개 2차원을 가지고 개념을 설명하는 이유는 화면에도 보여주기 쉽고, 머리로 이해하기도 훨씬 직관적이기 때문이다. 그리고 2차원에서의 개념을 확실히 이해한다면, 그보다 높은 차원에서도 적용할 수 있기 때문이다.

지금부터 2차원에서의 개념을 높은 차원에도 적용한다는 게 무슨 말인지 3차원을 통해 살펴보도록 하겠다.

Three-dimensional transformation

linear transformation은 일종의 함수와 같다고 했다. 3차원 벡터에서도 마찬가지고, 그 이상의 차원에서도 마찬가지다.

ch5-1

3차원 공간에서의 시각화까지는 무리없이 할 수 있다. 역시 격자선은 평행하고 간격이 일정하고, 원점은 고정되어 있다. 그리고 공간의 모든 점(point)들은 원점에서 시작한 벡터의 끝점(tip of a vector)을 대신한다.

ch5-2

linear transformation은 input vector(입력 벡터)를 받은 후 움직여서(moving) 대응되는(correspond) output vector(출력 벡터)로 만드는 작업이다. 이러한 변환은 basis vectors의 움직임을 알면 완벽하게 표현할 수 있다. 3차원에서의 basis vectors는 $\hat{i}$, $\hat{j}$, $\hat{k}$로 나타낸다. 사실 이 basis vector는 unit vector(단위 벡터)이며, 단위벡터는 길이가 1인 벡터를 뜻한다.

아래 그림은 2차원에서는 없었던 새로운 녀석 $\hat{k}$.

ch5-3

Linear transformation한다면 기하학적으로 아래 그림과 같이 나타낼 수 있다.

ch5-4

두 행렬의 곱 또한 마찬가지다. 오른쪽 행렬을 먼저 적용하고, 그 다음 왼쪽 행렬을 적용한다.

ch5-5

3차원 행령의 곱셈은 최근 들어 (1)컴퓨터그래픽스나 (2)로봇공학 분야에서 굉장히 많이 쓰이고 있다.

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