3B1B: Essence of Linear Algebra ch.4 Matrix multiplication as composition

chapter 3의 내용을 한 마디로 요약하자면 다음과 같다

Muliplying a matrix by a vector is what it means computationally, to apply the transformation to the vector.

Composition

3장에서 살펴본 두 가지 특수한 행렬을 다시 생각해보자. rotation과 shear을 한번에 linear transformation하는 경우는 어떨까? 이 과정을 살펴보면 행렬 곱셈(Matrix muliplication)을 이해하기 쉬워진다.

어떤 벡터가 있을 때, 그 벡터에 rotation을 적용하고 그 다음 shear를 적용하면 다음과 같은 행렬 형태로 나타날 것이다.

  • first rotation then shear
\[\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix}\]

ch4-1

이러한 두 개의 linear transformation이 합쳐져 하나의 linear transformation으로 나타난 형태를 Composition이라 한다. 결국 새로운 행렬이 나타나고 이 역시 linear transformation이다. 개별적인 두 개의 linear formation을 연속해서 한 게 아니라 하나의 action으로 만든 것이다. 왜냐하면 두개보다 한개가 계산 속도가 빠르기 때문이다.

\[\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \\ \end{bmatrix}\]

다시 말해, 두 개의 행렬 곱(product) 형태를 하나의 행렬로 표현한 것이다. 수식적인 의미보다 기하학적 의미를 강조하고 싶다. 즉, linear transformation을 연속해서 적용한 결과가 composition이며 이게 곧 matrix multiplication이다.

ch4-2

주의할 점은 이렇게 연속된 linear transformation은 순서를 가진다는 점이다. 보통 linear transformation할 벡터를 오른쪽(right side)에다 곱하기 때문에 오른쪽에서 왼쪽으로 행렬을 곱한다. 합성함수의 notation를 읽는 방향과 같다.

ch4-3

지금까지 내용을 일반화시켜 살펴보자.

첫 번째 linear transformation하는 행렬을 $M_1$라 하고 두 번째 linear transformation하려는 행렬을 $M_2$라 하자. 그러면 basis vector인 $\hat{i}$와 $\hat{j}$가 있을때, $\hat{i}$에 $M_1$를 곱하면, 즉 linear transformation하면 $[e, g]^T$가 된다. 이 벡터에 다시 $M_2$를 곱하면 어떤 형태로 나타날까?

ch4-4

결과는 다음과 같다.

\[\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e \\ g \\ \end{bmatrix} = e \begin{bmatrix} a \\ c \\ \end{bmatrix} + g \begin{bmatrix} b \\ d \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ae + bg \\ ce + dg \\ \end{bmatrix}\]

$\hat{j}$의 경우에도 마찬가지다. 수식으로 나타내면 다음과 같다.

\[\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f \\ h \\ \end{bmatrix} = f \begin{bmatrix} a \\ c \\ \end{bmatrix} + h \begin{bmatrix} b \\ d \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} af + bh \\ cf + dh \\ \end{bmatrix}\]

다시 한번 강조하지만, 이 시리즈는 linear transformation의 수식적인 이해보다 기하학적인 이해에 초점을 맞추었다. 즉, matrix multiplication이란 linear transformation의 composition이라는 뜻이다. linear transformation이 순차적으로 적용되는 좌표평면 위의 벡터를 떠올리면 된다.

교환법칙 Commutative law

지금까지 first rotation then shear를 살펴보았다. 그렇다면 둘의 순서를 바꾸면 결과가 어떻게 될까?

  • First shear then rotation

ch4-5

Linear transformation한 결과는 위의 그림에서 처럼 완전 다르다.

이는 행렬에서는 교환법칙이 성립하지 않는다는 말과 같은 뜻이다.

\[AB \neq BA\]

결합법칙 Associative law

결합법칙의 경우엔 어떨까? 기하학적의미로 살펴봤을 때, $ABC$라는 행렬 곱을 벡터에 linear transformation하는 것은 그 순서에만 관계가 있지 그 결합에는 하등 영향을 끼치지 않는다. 따라서 행렬에서는 결합법칙이 성립한다.

ch4-6

\[(AB)C = A(BC)\]

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