3B1B: Essence of Linear Algebra ch.3 Linear transformations and matrices

Linear transformations

Linear transformation란 용어는 ‘linear’와 ‘transformation’로 구분지어 생각해 볼 수 있다.

  • transformation

먼저 transformation은 ‘function(함수)’를 fancy하게 표현한 단어라고 생각하면 된다. 왜냐하면 함수는 정의역(domain)에 속하는 원소들을 치역(range)의 원소들에 대응시키는 관계이며, 이 관계가 바로 변형이기 때문이다.

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그렇다면, 함수랑 같은 뜻인데 왜 굳이 transformation이라는 용어를 쓰는 걸까?

이것은 바로 transformation이라는 용어에는 movement의 의미도 함께 내포하고 있기 때문이다. input vector에서 output vector로 움직이는(move) 그림을 떠올리면 이해하기 쉽다.

이전 영상에서 vector와 point를 구분했는데, point의 관점에서 살펴보면 transformation을 통해 한 점에서 다른 점으로 이동한다고 보면 된다.

  • linear

이제 Linear의 의미를 살펴보자.

시각적으로 transformation이 Linear하다는 것은 2가지 특성(property)을 지닌다.

  1. 직선은 직선으로 유지된다. Lines remain lines.
    • curve형태가 아니다.
  2. 원점은 고정된다. Origin remains fixed.

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위의 두 가지 특성을 고려한다면, 2차원 좌표평면의 경우에 격자선은 평행하고 동일한 간격으로 유지된다 (Grid lines remain parrallel and evenly spaced). 그래서 이 시리즈의 영상에서 시각화로 보여줄 때도, linear transformation되더라도 뒷 배경에 격자선을 남겨둘 것이다.

그렇다면 이러한 linear transformation을 어떻게 수식적으로(numerically) 설명할까?

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2차원 공간($\mathbb{R}^2$에서 어떤 벡터 $[x,y]^T$가 있을 때, 이 벡터를 $\hat{i}$와 $\hat{j}$의 두 basis vector($\hat{i}$는 $[1,0]^T$, $\hat{j}$는 $[0,1]^T$)로 나타낼 수 있다. 여기서 linear transform을 시켜 $\hat{i}$는 $[1,-2]^T$로 $\hat{j}$는 $[3,0]^T$으로 바꿔줄 수 있다. 그러면 $[x,y]^T$도 변형되는데, 이를 수식적으로 표현하면 아래의 선형결합 꼴로 나타난다. 즉, transformed된 basis vectors를 $x$와 $y$로 scaling하여 서로 addition한 꼴이다.

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이를 좀더 일반화시키면, 아래의 그림에서 basis vectors하에 $[x,y]^T$라는 벡터가 있을 때, 여기에 “2X2 Matrix”를 곱하여 $[a,c]^T$는 $x$를 변형시키고 $[b,d]^T$는 $y$를 변형시킨다. 이 결과로 transformed된 vector가 나온다.

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특수한 Matrices

Linear transformation하는 행렬 중 몇 가지 자주 쓰이는 행렬을 따로 정리해볼 수 있다.

  1. 90˚ 시계 반대방향으로 회전 (90˚ rotation counterclockwise)
\[\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix}\]
  1. Shear
\[\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}\]

Linearly dependent columns

명심할 점은 linearly dependent columns인 두 basis vectors의 경우, 즉 한 벡터가 다른 벡터의 scaling version일 경우에, 이 둘은 같은 차원이라는 점이다. 그래서 이 두 벡터의 선형결합으로 표현된, 즉 span한 벡터는 이 직선 위에 놓이는 한 점이다. 이렇게 표현된 linear transformation은 2차원 공간을 1차원 직선으로 축소시킨다.

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마치며

이 후 나오는 모든 개념들은 지금까지 배운 linear transformation을 제대로 이해하면 더 쉽게 다가올 것이다.

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