3B1B: Essence of Linear Algebra ch.2 Linear combinations, Span, and Basis vectors

Basis vectors (기저 벡터)

아래의 $\hat{i}$ 와 $\hat{j}$는 $xy$ 좌표계(coordinate system)의 basis vectors이다.

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이러한 basis vectors로 좌표계(일종의 vector space)의 모든 vector를 나타낼 수 있다.

그렇다면 $\hat{i}$ 와 $\hat{j}$ 이외에 다른 basis vectors는 없을까? 즉, $\hat{i}$ 와 $\hat{j}$는 각각 $(0, 1)^T$과 $(1, 0)^T$인데, 이 둘 vectors 말고 다른 basis vector는 뭐가 있을까?

Linear combinations (선형결합)

예를 들어, $(1, 2)^T$와 $(3, -1)^T$로 잡으면 이 둘은 basis vectors가 될 수 있고, 이 둘을 가지고 좌표계에 모든 점들을 나타낼 수 있다.

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이 때 등장하는 개념이 LInear combinations이다. 좌표계의 한 점(a point)을 표현하기 위해서는 basis vectors과 그 vectors에 곱해지는 scalars가 필요하다. Linear combinations는 vector addition과 scalar multiplication으로 이루어져 있다. 덧셈과 스칼라곱만 가지고 임의의 한 점을 나타낼 수 있는 것이다.

“Linear”의 의미를 직관적으로 살펴보면, basis vectors 중 하나의 basis와 scalar 쌍을 고정시키고 다른 하나의 쌍에 대한 값을 변화시키면, 그 변화는 하나의 straight line(직선)으로 표현된다. 그림으로 이해하자면, 아래에서 하얀색 선이 line(선)이자 자취인 것이다.

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basis vectors와 scalars만 있으면, 가능한한 모든 다른 vector를 그 basis vectors와 scalars로 나타낼 수 있다. 아래와 그림과 같다.

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그런데, basis vectors가 아래의 그림과 같이 같은 선상에 놓일 수도 있다. 이 경우엔 2차원 x,y 좌표평면의 벡터를 표현하지 못하고, 1차원 직선(line)위에 점들만 표현할 수 있다. (basis vectors는 원점(the origin)을 통해야만 한다.)

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또 다른 경우는 basis vectors가 모두 0(zero)인 경우이다. 이 때는 그저 원점(the origin)만 표현할 수 있다(be stuck).

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Span (생성)

basis vectors를 가지고 만든 모든 linear combinations는 그 basis vectors의 span이라 한다. 즉, span 명사로 일종의 집합(set)인 셈이다. 그리고 동사로 ‘span한다’고 한다. 즉, 좌표계의 나타난 모든 vectors를 basis vectors로 이루어진 linear combinations 형태로 표현할 수 있는 것이다.

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여기서 잠깐! Vectors vs. Points

많은 사람들이 직선 위나 2차원 평면위에 놓여있는 whole collection of vectors을 생각할 때. vectors와 points를 섞어 사용한다. point는 the tip of the vector에 있는 좌표값을 의미한다. point를 생각할 때도 vector의 tail이 항상 the origin위에 있다는 사실을 명심해야한다. vectors를 떠올릴 때나, points를 떠올릴 때 둘의 의미를 항상 떠올리면 좋다.

이제 span을 3차원의 공간으로 확장시켜 생각해보자. 기하학적으로 생각해보면 도움이 된다.

span은 가능한한 서로 다른 basis vectors로 만든 모든 linear combinations의 모임(collection)이라는 사실을 잊지 말자. 즉, 가능한한 모든 vectors는 basis vectors를 scaling한 다음에 더해서 구할 수 있다.

아래의 그림에서 회색은 flat sheet이며, 빨간색과 파란색 화살표의 linear combination인 초록색 화살표으로 만든 공간이다.

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세 개의 vectors로 3차원 공간을 span한다고 생각해보자.

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이 세 번째 벡터가 redundant할 경우가 있다. 다시 말해 scaling한 후 어떠한 addition도 일어나지 않는 것이다.

세 번째 벡터는 앞선 두 개의 벡터로 span한 space에 이미 존재하는 벡터인 것이다. 따라서 세 번째 벡터는 앞선 두 개의 벡터의 선형결합으로 나타낼 수 있으며, 이는 redundant하다. 이 사실을 나타낸 용어가 Linearly dependent이다.

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반면에 Linearly independent라는 용어가 있다. 세 번째 벡터가 앞선 두 벡터의 선형결합으로 표현 안되는 경우이다.

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basis의 정의를 제대로 하자면, 다음과 같다. 핵심은 linearly independent와 span이다.

The basis of a vector space is a set of linearly independent vectors that span the full space.

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