3B1B: Essence of Linear Algebra ch.1 Vectors, what even are they?

vector에 대한 3가지 관점

Linear Algebra(선형대수학)vector에 뿌리를 두고 있다.

vector를 바라보는 관점(perspective)는 학문에 따라 조금씩 다르다.

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  • 물리학

물리학은 기본적으로 vector를 공간 내 방향을 가진 화살표(arrows pointing in space)라고 여긴다. 벡터는 length와 direction으로 나뉜다. 이 두 가지가 같다면 어떤 위치에서든 같은 벡터라고 할 수 있다. 물리학에서 벡터는 주로 2차원이나 3차원 공간에서 표현된다. 우리가 사는 세상(real world)이 3차원이기 때문이다.

  • 컴퓨터과학

컴퓨터공학에서의 벡터는 순서를 가진 숫자 리스트(ordered lists of numbers)이다. 숫자를 모으는 것도 중요할 뿐더러 순서도 중요하다. 이 상황에서 벡터는 리스트(list)의 fancy한 단어일 뿐이다.

  • 수학

수학자는 앞서 언급한 두 가지 관점을 일반화시키는 데 관심이 있다. 두 벡터를 더하거나 스칼라를 곱하는 개념이 된다면, 즉 정의를 충족시킨다면 어떠한 것도 벡터가 될 수 있다. 좀 더 추상적인 개념이다. 이러한 개념은 Essence of Linear Algebra 시리즈 마지막 영상에서 다를 예정이다.

이 시리즈에서 의미하는 vector

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이 시리즈에서 말하는 ‘벡터’는 x,y평면과 같은 좌표계(coordinate)에 속하는 화살표(arrow)이다. 이 화살표는 tail을 지니며 이는 항상 원점(origin)이다.

이러한 관점은 물리학에서의 관점과는 조금 다르다. 왜냐하면 물리학에서 벡터는 공간 내에서 자유롭게 움직일 수 있다.

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이 시리즈에서는 좌표계에 익숙한 사람들을 위해 기하학적으로 평면위에 벡터를 표현하는 동시에, 수식적으로 벡터를 나타내어 벡터라는 개념 자체에 대한 이해를 높히고자 한다.

좌표계는 x,y평면(x-y plane)에서 x축과 y축, 그리고 원점이 있다. 수식으로 표현된 벡터에서 그 원소의 양수와 음수 여부에 따라 좌표평면에 화살표 방향이 달라진다. 원소의 절대값은 벡터의 길이이다.

그리고 이 시리즈에서 벡터는 대괄호를 써서 나타내고, 점은 소괄호를 써서 나타낸다.

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3차원 공간에서 살펴보면 다음의 그림과 같다.

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벡터 합과 스칼라곱 (the fundamental operations)

벡터는 중요한 특징 두 가지를 같는데, 바로 vector additionscalar muliplication이다. 이들이 중요한 이유는 이 둘을 가지고 다른 벡터를 나타낼 수 있기 때문이다.

벡터 합 vector addition

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벡터의 합이 왜 저 쪽 화살표를 가르키는가는 1차원 좌표평면을 다시금 떠올리면 이해하기 쉽다. 2+5는 2번 이동한 후에 5번 이동한 결과이며 7이다.

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동일한 내용을 수식적으로(numerically) 살펴보면 아래의 그림과 같다.

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스칼라 곱 scalar multiplication

어느 한 벡터에 적절한 숫자(number)를 곱하면 그 벡터의 길이 혹은 방향이 바뀐다.

  1. stretching
  2. squishing
  3. get fliped around, then streched

scalar라는 건 scaling해주는 녀석이라는 뜻이다. 다음의 정의를 살펴보자.

This process of stretching or squishing or sometimes reversing the direction of a vector is called “scaling”

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scalar라는 용어는 흔하게 number라는 단어와 혼용되어 쓰이고 있다.

선형대수학 응용

선형대수학에서 배우는 지식은 데이터 분석가들에게는 수 많은 숫자 리스트들을 시각적인 방법으로 개념화시킬 수 있게 해고, 이는 곧 데이터 안에 패턴을 발견하는 데 도움이 된다. 또한, 물리학자나 컴퓨터그래픽 기술자들에게는 공간을 설명하고 이를 변형하는 데 선형대수가 유용하게 쓰인다.

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